Caso 6 "A la Cola"

Introducción

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Krarup

Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico

telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el

sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una

nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es

ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus

problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada -

partida.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de

modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares

o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen

compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de

espera para un sistema dado.

El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona

el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario

fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes.

También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Definición

Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas

de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar"

demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de

atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la línea de espera.

Conceptos Básicos

Clientes: Término usado en un sistema de colas para referirse a:

· Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.

· Máquinas que esperan ser reparadas.

· Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio: Este término se usa para referirse a:

· Líneas telefónicas.

· Talleres de reparación.

· Pistas de aeropuerto.

Llegadas: Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

Tasa de Servicio: Este término se usa para designar la capacidad de servicio,por ejemplo:

·Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto.

· Una instalación de reparación puede de media, reparar máquinas a razón una cada 8 horas.

· Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

Número de servidores de servicio: Es la cantidad de servidores de que disponemos:

· Número de conmutadores telefónicos.

· Número de puestos de reparación.

· Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.

El número de servidores no tiene porqué ser siempre en paralelo, es

decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases.

Servidores	Fases	Ejemplos típicos
Uno	Una	Kiosco de prensa con un empleado
Uno	Varias	Lavado / secado de coches
Varios	Una	Oficina bancaria con varios cajeros
Varios	Varias	Centro de servicios radiológicos de hospital

Objetivos de la teoría de colas

Dada la función de costes anterior, los objetivos de la Teoría de Colas

consisten en:

· Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

· Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

· Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la

Cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico

considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

Tipos de colas

Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:

a) Una línea, un servidor

El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un médico.

b) Una línea, múltiples servidores

El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una

peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al

entrar y se les sirve cuando les llega el turno.

c) Varias líneas, múltiples servidores

El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es

característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo

de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas

independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si

hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio

es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la

separación no sería válida.

Disciplina de la cola

-Fifo, fifo con límite

-Lifo

-Siro (aleatorio)

-Por prioridad, interruptora o no.

La distribución de poisson

Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la

investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele

describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a

una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos

estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene

valores no-negativos enteros.

La distribución exponencial (de llegadas)

-La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños.

-En general, se considera que las llegadas son aleatorias.

-La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente.

Proceso de la llegada a la cola

-Existen 2 tipos de procesos de llegada:

-Determinístico

-Aleatoria: (Las 3 condiciones para la existencia del proceso de llegada poisson son:)

*Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo.

*Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.

*Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.

La distribución de poisson (de llegadas)

-Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas.

-Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas.

La forma algebraica es:

Dónde:

= Probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo.

= tasa media de llegadas

e = 2,7182818…

Distribución de servicio

Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio.

Hay 2 distribuciones que representarían puntos extremos:

-Distribución exponencial ( = media)

-Tiempos de servicio constantes ( = 0)

La distribución de erlang (de servicio)

Es una distribución intermedia, posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:

Si K = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial.

Si K = ∞ entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes

Factores que influyen en los modelos de colas:

-Configuración de la fila

-Tramposos

-Contrariedades

-Prioridades

-Colas Tàndem (simultáneas)

-Homogeneidad

1ª Ley de Harper

No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará más rápido.

2ª Ley de Harper

Y si se cambia de cola, aquélla en que estaba al principio empezará a ir

más deprisa.